Как возникают солнечные и лунные затмения?

Встаньте в тень липы или клёна и посмотрите под ноги. Просветы между листьями любой формы — треугольные, щелевидные, с изгрызенным краем. А пятна света на дорожке круглые, все до одного.

Каждый просвет работает как камера-обскура: он не отпечатывает свою форму, а строит изображение источника — круглого солнечного диска. Размер пятна задан одной пропорцией: Солнце видно с Земли под углом в полградуса, а это значит, что пятно ровно в 107 раз меньше высоты просвета над землёй. С пяти метров получается кружок около пяти сантиметров.

Затмение собрано из тех же трёх вещей: источник, преграда, экран. Солнечное затмение — тень Луны на Земле. Лунное — тень Земли на Луне.

Что сделать. Сложите пальцы обеих рук решёткой и посмотрите на их тень: в перекрестьях появятся такие же круглые зайчики-солнца. Измерьте одно пятно под деревом и высоту просвета — отношение окажется около ста. Вы только что измерили угловой размер Солнца, ни разу на него не взглянув.

Картинку строит не дырка, а источник. Маленькое отверстие пропускает от каждой точки солнечного диска по узкому лучику. Дальше лучики летят по прямой и не смешиваются: луч от верхнего края диска уходит вниз, от нижнего — вверх. На земле они раскладываются в перевёрнутое изображение Солнца. Форма самого отверстия при этом не важна — оно только пропускает свет.

Большое окно тоже пропускает лучи, но от каждой точки Солнца проходит уже широкий пучок. Сотни сдвинутых изображений накладываются друг на друга и смазываются в сплошное светлое пятно. Работает именно маленькая дырка — та, что заметно меньше будущего изображения.

Одна пропорция, которая пригодится трижды. Солнце видно с Земли под углом в полградуса, а полградуса — это дробь один к ста семи:

$$\frac{d}{L}=\frac{1}{107}$$

модель

Иначе говоря, любой предмет, видимый под углом в полградуса, ровно в 107 раз меньше расстояния до него. Отсюда и размер солнечного пятна под деревом, и всё, что будет дальше.

Тень Луны едва дотягивается до Земли. Лучи от противоположных краёв Солнца, скользнув по краям Луны, сходятся за ней под тем же углом в полградуса. Значит, конус полной тени сужается на километр за каждые 107 километров пути и сходит на нет через 107 лунных диаметров:

$$L=107\,D_{\text{Луны}}$$

оценка порядка

То есть длина конуса — сто семь лунных диаметров. А расстояние до Луны гуляет от 356 до 407 тысяч километров: конус то дотягивается до земной поверхности, то нет. Дотянулся — по Земле бежит пятно полной тени шириной в одну-две сотни километров. Не дотянулся — Луна не может закрыть весь солнечный диск, и вокруг тёмного круга остаётся ослепительное кольцо. Вся разница между полным и кольцеобразным затмением — пятьдесят тысяч километров эллиптической орбиты.

Тень Земли щедрее, но худеет с тем же темпом. Километр ширины на каждые 107 километров пути. До орбиты Луны 384 тысячи километров, за них тень теряет 384 000 / 107 ≈ 3 600 км, и из 12 700 км земного диаметра остаётся около 9 100:

$$12\,700-\frac{384\,000}{107}\approx 9\,100\ \text{км}$$

оценка порядка

То есть тень Земли в два с половиной раза шире самой Луны и накрывает её целиком. Поэтому лунное затмение видно сразу со всей ночной половины планеты и длится часами, а не минутами.

При этом Луна не гаснет, а становится медной. Атмосфера Земли работает как слабая линза и заворачивает часть солнечных лучей внутрь конуса тени. Синий свет по дороге рассеивается воздухом — тот же процесс, что делает небо голубым, — а красный проходит насквозь. В полной фазе Луну освещают одновременно все закаты и рассветы Земли.

Где ещё та же схема. Свет, преграда, экран — это фотокамера, солнечные часы и человеческий глаз. По этой же геометрии впервые измерили мир: Аристотель заключил, что Земля — шар, потому что её тень на Луне всегда круглая, а Аристарх по ширине той же тени нашёл, что Луна примерно втрое меньше Земли. Современное значение — в 3,7 раза.

Ниже — текст, проверенный экспертом, без изменений. Формулы восстановлены по числам этого же текста: в присланном документе они стояли картинками.

Посмотрите под ноги в тени дерева: просветы между листьями рваные и случайные, а светлые пятна на дорожке — круглые, все до одного. Каждый просвет — крошечная дырочная камера: он рисует не свою форму, а изображение источника света, круглого солнечного диска.

Затмение устроено из тех же трёх вещей: источник, преграда, экран. Затмение — это тень. Солнечное — когда тень Луны падает на Землю, лунное — когда тень Земли накрывает Луну.

Начнём с пятен под деревом. Маленькое отверстие пропускает от каждой точки Солнца по узкому лучику, и все лучики летят дальше по прямой, не смешиваясь: луч от верхнего края солнечного диска уходит вниз, луч от нижнего — вверх. На земле они раскладываются в перевёрнутую картинку источника. Само отверстие может быть каким угодно — треугольным, рваным: оно лишь пропускает лучи, а картинку строит Солнце. Вот почему пятна под деревом круглые. Большое окно, кстати, тоже пропускает лучи — но от каждой точки Солнца проходит уже широкий пучок, сотни сдвинутых картинок накладываются и смазываются в сплошное светлое пятно. Работает именно маленькая дырка.

Размер картинки задаёт одна пропорция, которая пригодится нам ещё дважды. Солнце видно с Земли под углом в полградуса; полградуса — это дробь 1/107: любой предмет, видимый под таким углом, ровно в 107 раз меньше расстояния до него. Значит, и солнечное пятно на земле в 107 раз меньше высоты просвета:

$$d=\frac{H}{107}$$

С пяти метров получается пятно около пяти сантиметров. Формула работает и в обратную сторону: измерив пятно и высоту, вы узнаете угловой размер Солнца, ни разу на него не взглянув.

Теперь заменим листву Луной, а дорожку — Землёй. У тени от протяжённого источника два слоя: полная тень, где Солнце закрыто целиком, и полутень, где закрыт только его край, — оттуда затмение видно как частное. Длину конуса полной тени даёт та же пропорция «один к ста семи». Лучи от противоположных краёв Солнца, скользнувшие по краям Луны, сходятся за ней под тем же углом в полградуса — поэтому конус тени сужается на километр за каждые 107 километров пути и сходит на нет на расстоянии в 107 лунных диаметров:

$$L=107\,D_{\text{Луны}}$$

А расстояние до Луны меняется от 356 до 407 тысяч километров: конус то дотягивается до Земли, то нет. Дотянулся — по Земле бежит пятно полной тени шириной обычно в одну-две сотни километров (не более 270): полное затмение. Не дотянулся — Луна не может закрыть весь солнечный диск, и вокруг тёмного круга остаётся ослепительное кольцо: кольцеобразное затмение. Вся разница между ними — пятьдесят тысяч километров эллиптической орбиты.

Земная тень щедрее, но худеет с тем же темпом: километр ширины на каждые 107 километров пути. До орбиты Луны 384 тысячи километров — за них тень теряет 384 000/107 ≈ 3600 км, и из 12 700 километров земного диаметра остаётся около 9100:

$$12\,700-\frac{384\,000}{107}\approx 9\,100\ \text{км}$$

Тень в два с половиной раза шире Луны и накрывает её целиком, поэтому лунное затмение видит сразу вся ночная половина планеты — и длится оно часами, а не минутами. При этом Луна не гаснет, а становится медной. Атмосфера Земли, как слабая линза, заворачивает часть солнечных лучей внутрь конуса тени; синий свет по дороге рассеивается воздухом — тот самый процесс, что делает небо голубым, — а красный проходит насквозь и добирается до Луны. В полной фазе её освещают одновременно все закаты и рассветы Земли.

Проверьте сами. Сложите пальцы обеих рук решёткой и посмотрите на их тень: в перекрестьях появятся те же круглые зайчики-солнца. Измерьте одно пятно под деревом и высоту просвета: пятно окажется примерно в сто раз меньше — вы только что измерили те самые полградуса. А в ближайшее частное затмение вынесите во двор дуршлаг: каждая дырка напечатает свой серп.

Тот же принцип. По этой геометрии впервые измерили мир: Аристотель по всегда круглой тени Земли на Луне заключил, что Земля — шар, а Аристарх по ширине той же тени нашёл, что Луна примерно втрое меньше Земли (современное значение — в 3,7 раза). Свет, преграда, экран: схема затмения каждый день повторяется в фотокамере, солнечных часах и вашем глазу.